Question

【题目】已知：把和按如图甲摆放（点与点重合），点、、在同一条直线上．，，，，．如图乙，从图甲的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．当点移动到点时，点停止移动，也随之停止移动．与相交于点，连接、，设移动时间为．解答下列问题：

设三角形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

当为何值时，三角形为等腰三角形？

是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2);(3)当，点、、三点在同一条直线上．

【解析】

（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BC-CE=9-t；则△BQE的面积y=BEQE（0＜t≤）；

（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=，sin∠D=；在Rt△PDG中，通过sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，

那么GQ=DQ-DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2．若△DPQ为等腰三角形时，分三种情况：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③当DQ=PQ时；

（3）①当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；

②当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6-t，所以求得GQ=DQ-DG的值，根据平行线的判定定理知GP∥BE，可证△GPQ∽△QBE，所以，
GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上．

解：

（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，

∴∠EQC=45°．

∴EC=EQ=t，

∴BE=9-t．

∴y＝BEEQ＝(9t)t，

即：y＝t2+t（0＜t≤）

（2）①当DQ=DP时，∴6-t=10-3t，解得：t=2s．

②当PQ=PD时，过P作PH⊥DQ，交DE于点H，

则DH=HQ=，由HP∥EF，

∴＝则＝，解得t＝s

③当QP=QD时，过Q作QG⊥DP，交DP于点G，

则GD=GP=，可得：△DQG∽△DFE，

∴＝，则＝，

解得t＝s（2分）

（3）假设存在某一时刻t，

使点P、Q、B三点在同一条直线上．

则，过P作PI⊥BF，交BF于点I，

∴PI∥DE，

于是：，

∴PI＝t，FI＝t，

∴＝，则＝，

解得：t＝s．

答：当t＝s，点P、Q、B三点在同一条直线上．