Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过几秒，动圆与直线AB相切．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：如图，当圆心点P在点A的左侧时，连接PC；首先求出AB的长；然后证明△APC∽△ABO，得到

AP

AB

=

PC

OB

，求出PA的值，即可解决问题；当圆心点P在点A的右侧时，同理可求出OP的值，即可解决问题．

解答：解：如图，当⊙O的圆心运动到点P处时，⊙P与直线AB相切；
连接PC，则PC⊥AB；对于直线y=

3

4

x-3，
当x=0时，y=-3；当y=0时，x=4，
∴OA=4，OB=3；由勾股定理得：AB=

32+42

=5；
∵∠AOB=∠ACP=90°，∠PCA=∠BOA，
∴△APC∽△ABO，
∴

AP

AB

=

PC

OB

，
解得：PA=

5

3

，OP=4-

5

3

=

7

3

，
∴经过

7

3

秒，动圆与直线AB相切．
当圆心O运动到点A的右侧时，同理可求：
PA=

4

3

，PO=4+

4

3

=

16

3

，
∴经过

16

3

秒，动圆与直线AB相切．
综上所述，经过

7

3

或

16

3

秒，动圆与直线AB相切．

点评：该题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等几何知识点来分析、判断、解答．