Question

如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据AB是CD的垂直平分线，得到AC=AD，然后利用三线合一的性质得到∠CAB=∠DAB即可；
（2）首先判定四边形AEMF是矩形，然后证得ME=MF，利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可．

解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；

（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．

点评：本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强，难度不大．