Question

如图所示，在矩形ABCD中，E为BC中点，ED交AC于点P，DQ⊥AC于点Q，AB=kBC．
（1）当k=1时，=______；
（2）当k=时，求证PQ=CP；
（3）当k=______时，．

Answer 1

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∵AD∥EC，
∴=，
∵E为BC中点，
∴==，
∴=；
故答案为：；

（2）∵Rt△ACD中，DQ⊥AC，
∴△ADQ∽△DCQ∽△ACD，
∴AD²=AQ•AC，CD²=CQ•AC，
∴
∴QC=2AQ，
又==2，∴AP=2PC，
∴AQ=PQ=PC；

（3）．
∵，当时，则点P与点Q重合．
∵
设PE=a，PC=b，则PD=2a，PA=2b，则CD²=2a×3a=b×3b，
∴，
∵，
∴．
分析：（1）利用正方形的判定得出ABCD是正方形，进而得出=，即可得出答案；
（2）利用已知证明出△ADQ∽△DCQ∽△ACD，进而得出QC=2AQ，以及AQ=AC=PC；
（3）利用三角形面积比得出，即可得出．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定及性质和正方形的判定等知识，根据已知灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键