Question

18．关于x的一元二次方程（m-2）x²+（2m+1）x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　　）

• A． m＞$\frac{3}{4}$
• B． m＞$\frac{3}{4}$且m≠2
• C． -$\frac{1}{2}$＜m＜2
• D． $\frac{3}{4}$＜m＜2

Answer 1

分析 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m-2≠0且△=（2m+1）²-4（m-2）（m-2）＞0，解得m＞$\frac{3}{4}$且m≠2，再利用根与系数的关系得到-$\frac{2m+1}{m-2}$＞0，则m-2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为$\frac{3}{4}$＜m＜2．

解答 解：根据题意得m-2≠0且△=（2m+1）²-4（m-2）（m-2）＞0，
解得m＞$\frac{3}{4}$且m≠2，
设方程的两根为a、b，则a+b=-$\frac{2m+1}{m-2}$＞0，ab=$\frac{m-2}{m-2}$=1＞0，
而2m+1＞0，
∴m-2＜0，即m＜2，
∴m的取值范围为$\frac{3}{4}$＜m＜2．
故选D．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．