Question

13．阅读材料
大数学家高斯在上学时，曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是：1+2+3+4+5+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+4×5×…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}（1×2×3-0×1×2）$．
2×$3=\frac{1}{3}（2×3×4-1×2×3）$．
3×$4=\frac{1}{3}（3×4×5-2×3×4）$．
如果将这三个等式的两边相加，你会有怎样的发现呢？
解决问题
要求：直接在横线上写出结果（式子或数值），不必写过程．
（1）将材料中的三个特殊的等式两边相加，可以得到：
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5；
（2）探究并计算：
1×2+2×3+3×4+4×5+…+20×21=$\frac{1}{3}$×20×21×22；
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 （1）将三式子相加求出结果即可；
（2）原式各项归纳总结得到一般性规律，计算即可．

解答 解：（1）三式相加得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$×3×4×5；
（2）归纳总结得：原式=$\frac{1}{3}$×20×21×22；原式=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
故答案为：（1）$\frac{1}{3}$×3×4×5；（2）$\frac{1}{3}$×20×21×22；$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．