Question

【题目】如图1，已知点，的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点。

（1）求的值；

（2）点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点的坐标；

（3）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；；（3），见解析.

【解析】

（1）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y＝ 上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT，由此即可得出结论．

（1）设，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）∵由（1）知，

∴反比例函数的解析式为，

∵点在双曲线上，点在轴上，

∴设，

①当为边时：

如图1，若为平行四边形，

则，

解得：，

此时；

如图2，若来平行四边形，

则，

解得，

此时；

②

如图3，当为对角线时，

，且；

∴，

解得：，

∴；

故，；；；

（3）的值不发生改变，

理由：如图4，连，

∵是线段的垂直平分线，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

在与中，，

∴，

∴，

∴，

四边形中，，而，

所以，，所以，四边形内角和为360°，

所以，

∴，

∴