Question

10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M，N分别以每秒1个单位的速度从点A，D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M，N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的周长．
（2）设△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分两种情况讨论）．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值．

解答 解：（1）在菱形ABCD中，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60，
∴OA=40，OD=30，
∵AC⊥BD，
∴AD=$\sqrt{{{30}^2}+{{40}^2}}$=50．
∴菱形ABCD的周长为200．
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如图1，

∵$sin∠OAD=\frac{MP}{AM}=\frac{OD}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴MP=AM•sin∠OAD=$\frac{3}{5}t$．
∴$s=\frac{1}{2}DN•MP=\frac{3}{10}{t^2}$．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=40时，最大值为480；
②当40＜t≤50时，如图2，

∴MD=80-t．
∵$sin∠ADO=\frac{MP}{MD}=\frac{AO}{AD}$，
∴MP=$\frac{4}{5}（{70-t}）$．
∴${S}_{△DMN}=\frac{1}{2}DN•MP$=$\frac{1}{2}×t×\frac{4}{5}（70-t）$=$-\frac{2}{5}{t}^{2}+28t$=$-\frac{2}{5}（t-35）^{2}$+490．
∵S随t的增大而减小，
∴当t=40时，最大值为480．
综上所述，S的最大值为480．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；