Question

17．已知二次函数y=ax²-2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=1：2
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB=1，求这个二次函数的关系式；
（3）在（2）的基础上，将直线CP先绕点C旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，Q是直线n上的动点，是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形？若存在，求出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得抛物线的对称轴为x=1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．先求得点C和点P的坐标（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值．；
（3）先求得抛物线的顶点坐标，然后再求得直线n=-2．设点Q的坐标为（a，-2），依据两点间的距离公式可知：PO²=17，PQ²=（1-a）²+4，OQ²=a²+4，
最后依据勾股定理的逆定理列方程求解即可．

解答 解：（1）如图所示：

∵由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，
∴$\frac{EO}{BE}=\frac{CP}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（-1，0）．
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．

将x=0代入得：y=c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x=1代入得y=-a+c．
∴点P的坐标为（1，-a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠BPD=1，
∴tan∠FPC=1．
∴$\frac{CF}{PF}$=$\frac{1}{a}$=1，解得a=1．
将a=1代入抛物线的解析式得：y=x²-2x+c．
将点A的坐标代入得：1+2+c=0，解得：c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点P的坐标为（1，-4）．
由题意可知：直线n=-2．
设点Q的坐标为（a，-2），依据两点间的距离公式可知：PO²=17，PQ²=（1-a）²+4，OQ²=a²+4，
当PQ²+OQ²=PO²时，（1-a）²+4+a²+4=17，解得：a=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-2）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-2）．
当PO²+PQ²=OQ²时，17+（1-a）²+4=a²+4，解得a=9．
∴点Q的坐标为（9，-2）．
当PO²+OQ²=PQ²时，17+a²+4=（1-a）²+4，解得：a=-8．
∴点Q的坐标为（-8，-2）．
综上所述，点Q的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-2）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-2）或（9，-2）或（-8，-2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解题的关键．