Question

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

A
分析：先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积．
解答：设y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
所以c²=-，c=-，
又=-1，即4a=4+b²，且a≥1，
所以S_△ABC=|c|•|x₁-x₂|=，
=，
=≤1，
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．
故选A．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角形的面积公式及根与系数的关系，有一定的综合性，但难度适中．