Question

11．问题情境：如图1，在?ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF，相较于点O，切∠HOE=∠ADC，若AB=a，AD=b，试探究：EG与FH的数量关系，小聪建议分以下三步进行，请你解答：
（1）特殊情况，探索结论
当?ABCD是边长为a的正方形（如图2），请写出EG盒FH的数量关系（不必证明）；
（2）尝试变题，再探思路
当?ABCD是边长为a的菱形时（如图3）EG与FH又有怎样的数量关系呢？
小聪展示出如下正确的解法（不完整）
如图3，分别过点G、H、作GM⊥AB于点M，HN⊥⊥BC于点N，则∠GME=∠HNF=90°
∵AB×GM=BC×HN，AB=BC
∴GM=HN
…
请补全小聪的解答过程
（3）特例启发，解答题目
猜想：图1中EG与FH的数量关系是$\frac{EG}{FH}=\frac{b}{a}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；
（2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据菱形面积公式求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME≌△HNF即可；
（3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，根据平行四边形面积公式求出$\frac{GM}{HN}=\frac{BC}{AB}=\frac{b}{a}$，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，证出△GME∽△HNF即可．

解答 （1）解：EG=FH，
理由是：过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，如图1：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，
∴四边形ADGM、四边形GMBC、四边形AHNB，四边形DCNH是平行四边形，
∴DC=HN=AB，AD=GM=BC，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；
（2）EG=FH，理由是：
过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，如图2：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH．
（3）$\frac{EG}{FH}=\frac{b}{a}$
理由是：
过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，如图3：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴$\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，
故答案为：$\frac{EG}{FH}=\frac{b}{a}$．

点评 本题考查了正方形性质，平行四边形性质，菱形性质，面积公式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．