题目内容
【题目】如图，
为
的直径，弦
，
相交于点
，且
于点
，过点
作的切线交的延长线于点
．
（1）求证：
；
（2）若的半径为5，点是的中点，
，写出求线段长的思路．
【答案】（1）见解析；（2）求解思路见解析.
【解析】
（1）连接OC，根据切线定理可知
，根据
得到
，利用同圆半径相等得到
，进而得到
，再利用对顶角以及等量代换即可完成.
（2）思路一：①
过圆心且点
是
的中点，由垂径定理可得
，
；
②由
与
互余，
与互余可得
，从而可知
；
③在
中，由
，可设
，
，由勾股定
理，得
，可解得
的值；
④由
，可求的长．
思路二：连接
，如图3．
①由
是
的直径，可得
是直角三角形，知与
互余，
又可知
与互余，得
；
②由，
，可得，从而可知；
③在
中，由
，可设
，
由勾股定理，得
，可解得的值；
④由
，可求的长．
（1）证明：连接
，如图1．
∵
是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∴，
又∵
，
∴
，
∴
．
（2）求解思路如下：
思路一：连接，如图2．
①过圆心且点是的中点，由垂径定理可得，；
②由与互余，与互余可得，从而可知；
③在中，由，可设，，由勾股定理，得，可解得的值；
④由，可求的长．
思路二：连接，如图3．
①由是的直径，可得是直角三角形，知与互余，
又可知与互余，得；
②由，，可得，从而可知；
③在中，由，可设，
由勾股定理，得，可解得的值；
④由，可求的长．
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