Question

10．如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．
分析：根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′，这时再分别求出∠BP′P和∠AP′P的度数．
解答：（1）请你根据以上分析再通过计算求出图2中∠BPC的度数；
      （2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2$\sqrt{13}$，PB=4，PC=2，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP=$\sqrt{2}$，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则△BPP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=$\sqrt{2}$PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
（2）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=$\frac{1}{2}$BP′=2，P′H=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，得到P′P=2P′H=4$\sqrt{3}$，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°，问题得解．

解答 解：（1）如图2．
∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=90°，BP′=BP=$\sqrt{2}$，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP=$\sqrt{5}$，PP′=2，AP′=1，
∵（$\sqrt{5}$）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如图3．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=$\frac{1}{2}$BP′=2，P′H=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∴P′P=2P′H=4$\sqrt{3}$，
在△APP′中，AP=2$\sqrt{13}$，PP′=4$\sqrt{3}$，AP′=2，
∵（2$\sqrt{13}$）²=（4$\sqrt{3}$）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系．