题目内容
阅读下列材料:
我们知道
的几何意义是在数轴上数
对应的点与原点的距离,即
=
,也就是说,
表示在数轴上数
与数0对应的点之间的距离;这个结论可以推广为
表示在数轴上数
与数
对应的点之间的距离;
例1.解方程|
|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为
,所以方程|
|=2的解为
.
例2.解不等式|
-1|>2.在数轴上找出|
-1|=2的解(如图),因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为-1或3,所以方程|
-1|=2的解为
=-1或
=3,因此不等式|
-1|>2的解集为
<-1或
>3.
例3.解方程|
-1|+|
+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程就是求在数轴上到1和-2对应的点的距离之和等于5的点对应的
的值.因为在数轴上1和-2对应的点的距离为3(如图),满足方程的
对应的点在1的右边或-2的左边.若
对应的点在1的右边,可得
=2;若
对应的点在-2的左边,可得
=-3,因此方程|
-1|+|
+2|=5的解是
=2或
=-3.
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|
+3|=4的解为 ;
(2)解不等式:|
-3|≥5;
(3)解不等式:|
-3|+|
+4|≥9.
解:(1)
或
.………………………………………………………………4分
(2)在数轴上找出|
-3|=5的解.
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为-2或8,
∴方程|
-3|=5的解为x=-2或x=8,
∴不等式|
-3|≥5的解集为x≤-2或x≥8.········································· 8分
(3)在数轴上找出|
-3|+|
+4|=9的解.
由绝对值的几何意义知,该方程就是求在数轴上到3和-4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值.
∵在数轴上3和-4对应的点的距离为7,
∴满足方程的x对应的点在3的右边或-4的左边.
若
对应的点在3的右边,可得x=4;若
对应的点在-4的左边,可得x=-5,
∴方程|
-3|+|
+4|=9的解是x=
或x=-5,
∴不等式|
-3|+|
+4|≥9的解集为x≥
或x≤-5.····························· 12分