Question

7．如图1，已知△ABC中，∠ABC=45°，点E为AC上的一点，连接BE，在BC上找一点G，使得AG=AB，AG交BE于K．
（1）若∠ABE=30°，且∠EBC=∠GAC，BK=4，求AC的长度．
（2）如图2，过点A作DA⊥AE交BE于点D，过D、E分别向AB所在的直线作垂线，垂足分别为点M、N，且NE=AM，若D为BE的中点，证明：$\sqrt{5}$DG=2AG．
（3）如图3，将（2）中的条件“若D为BE的中点”改为“若点K为AG的中点”，其他条件不变，请直接写出$\frac{AE}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥BG于H．在Rt△ABK中，求出AK、AB，在Rt△ABH中，求出AH，在Rt△AHC中，证明∠C=30°，即可推出AC=2AH，由此解决问题．
（2）如图2中，连接EG．由△MAD≌△NEA，推出AD=AE再证明△BAD≌△GAE，推出BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE，推出DGE是等腰直角三角形，设AD=AE=a，求出DG、AG即可解决问题．
（3）如图3中，作AH⊥BE，连接EG．由△AKH≌△GKE，推出EG=AH，HK=EK，设KH=EK=a，则AH=HE=EG=2a，BE=6a，AD=AE=2$\sqrt{2}$a，在Rt△BEG中，BG=$\sqrt{（6a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{10}$a，由△ABD∽△ACG，得$\frac{BD}{GC}$=$\frac{AD}{AG}$，求出GC，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AH⊥BG于H．

在Rt△ABK中，∵∠BAK=90°，∠ABK=30°，BK=4，
∴AK=$\frac{1}{2}$BK=2，AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AB=AG，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠AGB=45°，∠CBE=∠CAG=15°，
∵∠AGB=∠C+∠CAG，
∴∠C=30°，
在Rt△AHC中，∵∠AHC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AH，
在Rt△ABH中，AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$．

（2）如图2中，连接EG．

∵DM⊥AB，EN⊥BA，
∴∠AMD=∠N=∠DAE=90°，
∴∠MAD+∠NAE=90°，∠NAE+∠NEA=90°，
∴∠MAD=∠NEA，
在△MAD和△NEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠AEN}\\{AM=NE}\\{∠AMD=∠N}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△NEA，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠GAE，
在△BAD和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AG}\\{∠BAD=∠GAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△GAE，
∴BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE，
∵∠AKB=∠EKG，
∴∠KEG=∠KAB=90°，
∴△DGE是等腰直角三角形，设AD=AE=a，
∴∠ADE=∠EDG=45°，
∴∠ADG=90°，
∴DE=BD=EG=$\sqrt{2}$a，DG=$\sqrt{2}$DE=2a，
在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$，
∴$\sqrt{5}$DG=2AG．

（3）如图3中，作AH⊥BE，连接EG．

由（2）可知∠BEG=90°，BD=EG，
∵AH⊥BE，
∴∠AHK=∠KEG，
在△AKH和△GKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AKH=∠EKG}\\{∠AKH=∠GEK}\\{AK=KG}\end{array}\right.$，
∴△AKH≌△GKE，
∴EG=AH，HK=EK，设KH=EK=a，则AH=HE=EG=2a，BE=6a，AD=AE=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△BEG中，BG=$\sqrt{（6a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{10}$a，
∴AB=AG=2$\sqrt{5}$a，
∵∠BAD=∠GAC，∠ADB=∠AGC=135°，
∴△ABD∽△ACG，
∴$\frac{BD}{GC}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴$\frac{2a}{GC}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{5}a}$，
∴GC=$\sqrt{10}$a，
∴BC=BG+GC=3$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{10}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．