Question

矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：分类讨论

分析：分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．

解答：解：①当∠EFC=90°时，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=8，
∴BC=AD=8，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，
由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，
∴CF=AC-AF=10-6=4，
在Rt△CEF中，EF²+CF²=CE²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
即BE=3；
②当∠CEF=90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=

1

2

×90°=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=6，
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．

点评：本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．