Question

15．如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠BCA=90°，AC=BC=5$\sqrt{2}$，点A、C分别在x轴和y轴上，当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时，则点C始终在y轴上运动，点B始终在第一象限运动．
（1）当AB∥y轴时，B点坐标是（5，10）；
（2）随着A、C的运动，当点B落在直线y=3x上时，求此时A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是40？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，可得AB的长，根据勾股定理，可得CD的长，可得B点坐标；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BE=OC=a，EC=OA=2a，根据勾股定理，可得a的长，可得A点坐标，
（3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）当AB∥y轴时，作CD⊥AB于D，如图1：
，
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
BD=AD=5，
由勾股定理，得
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=5
B点坐标是 （5，10）．
（2）过点B作BE⊥y轴，如图2：
，
在△BCE和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠O}\\{∠ECB=∠OAC}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△COA（AAS）
∴BE=OC，EC=OA．
设点B（a，3a），
∴BE=a，OE=3a
∴BE=OC=a，EC=OA=2a，
在Rt△OCA中，由勾股定理，得OC²+OA²=AC²，即a²+4a²=50，
解得：$a=\sqrt{10}$，OA=2a=2$\sqrt{10}$，
∴A（$2\sqrt{10}$，0）；
（3）①D在y轴的正半轴上，设D（0，b），作BE⊥x轴于E点，如图3：
，
S_OABD=S_OEBD+S_ABE=$\frac{1}{2}$（b+3$\sqrt{10}$）×$\sqrt{10}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=40，
解得b=2$\sqrt{10}$，即D（0，2$\sqrt{10}$）；
②D在y轴的负半轴上，设D（0，-b），如图4：
，
S_OBAD=S_OAB+S_OAD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$b=40，
解得b=$\sqrt{10}$，D（0，-$\sqrt{10}$）．
故D点坐标为（0，$2\sqrt{10}$）或（0，$-\sqrt{10}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用勾股定理是解题关键；（2）利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理；（3）利用面积的和差得出关于b的方程是解题关键，注意分类讨论，以防遗漏．