Question

已知如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角边时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴

9+3b+c=0 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y=-x+3，
设点P（x，x²-4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，-x+3），
∴PD=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∵a=-1＜0，
∴当x=

3

2

时，线段PD的长度有最大值

9

4

；

（3）①∠APD是直角边时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵A（3，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，
此时，点P（2，1），
综上所述，点P（3，0）或（2，1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三边关系，|MA-MB|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA-MB|最大，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=0 b=3

，
解得

k=-3 b=3

，
∴直线BC的解析式为y=-3x+3，
∵抛物线y=x²-4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴点M（2，-3），
即，抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．