Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P．
（1）求证：BP=PE；
（2）若AC=3PC，求

DB

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥AP于M，证△BCP≌△EMP，求出BC=AC=EM，证△ADC≌△EAM，推出即可；
（2）根据全等三角形性质得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出BD=2x，即可求出答案．

解答：证明：（1）作EM⊥AP于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中

∠DAC=∠AEM ∠ACD=∠M AD=AE

∴△ADC≌△EAM，
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=∠M，
在△BCP和△EMP中

∠BCP=∠M ∠BPC=∠EPM BC=EM

∴△BCP≌△EMP，
∴BP=PE．

（2）∵△BCP≌△EMP，△ADC≌△EAM，
∴CP=PM，AM=DC，
设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，
∴BD=2x，
∴

DB

BC

=

2

3

．

点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．