Question

8．已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将△AOB绕B点顺时针旋转α角（0°＜α＜360°）至△A′O′B处．

（1）如图1，m=4，α=90°，求O′点的坐标及AB扫过的面积；
（2）如图2，当旋转到A、O′、A′三点在同一直线上时，求证：O′B是⊙O的切线；
（3）如图3，m=2，在旋转过程中，当直线BO′与⊙A相交时，直接写出α的范围．

Answer 1

分析 （1）先判断出旋转后O'B⊥x轴，从而得出点O'的坐标，进而判断出是AB扫过的面积是以AB为半径，圆心角为90°的扇形的面积，
（2）先判断出△AO'B≌△A'O'B．即可得出AO'=A'O'，进而得出AO'=OA即可得出结论；
（3）找出BO'与⊙A相切时旋转角的度数即可确定出范围．

解答 解：当α=90°时，O'B⊥x轴，
由旋转知，O'B=OB=2，
∴O'（2，2），
在Rt△AOB中，OB=2，OA=m=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$
由旋转知，BA绕点B旋转90°到BA'，
∴AB扫过的面积=$\frac{90•π•（2\sqrt{5）^{2}}}{360}$=5π；
（2）由旋转知，AB=A'B，
∴∠BAA'=∠BA'A，
∵A、O′、A′三点在同一直线上，
∴∠AO'B=∠A'O'B=90°，
在△AO'B和△A'O'B中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AO'B=∠A'O'B=90°}\\{∠BAA'=∠BA'A}\\{AB=A'B}\end{array}\right.$，
∴△AO'B≌△A'O'B．AO'=A'O'，
由旋转知，A'O'=AO，
∴AO′=AO，
∴O′B是⊙O的切线；
（3）∵m=2，
∴A（0，2），
∵B（0，2），
∴OA=OB=2，
当顺时针旋转时，BO'与⊙A相切时，四边形AOBO'刚好是正方形，
∴0°＜α＜90°，BO'与⊙A相交，
同理：180°＜α＜270°时，BO'与⊙A相交，
即：当直线BO′与⊙A相交时，α的范围为：0°＜α＜90°或180°＜α＜270°．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，解本题的关键判断出，△AO'B≌△A'O'B，是一道中等难度的中考常考题．