如图.在平面直角坐标系xOy中.正方形OABC的边长为2cm.点A.C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上.抛物线y=ax2+bx+c经过点A.B和D(4.-23)．(1)求抛物线的表达式,(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动.同时点Q由点B出发.沿BC边以1cm/s的速度向点C运动.当其中一点到达终点时.另一点也随之停止运动．设S=PQ2(cm2)．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-

）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最小，最小值是多少；
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）只需先求出点A、B的坐标，然后再运用待定系数法就可解决问题；
（2）由题可知：AP=2t，BQ=t，PB=2-2t，（0≤t≤1）．
①在Rt△PBQ中运用勾股定理即可得到S与t之间的函数关系式；
②只需运用配方法就可解决问题；
（3）根据轴对称性可得MA=MB，则MD-MA=MD-MB，然后根据两点之间线段最短可得：当A、D、M三点共线时，MD-MB（即MD-MA）取到最大值，然后只需求出直线BD的解析式，就可得到直线BD与对称轴x=1的交点M的坐标．

解答：解：（1）由题可知：点A的坐标为（0，-2），点B的坐标为（2，-2），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，-2）、B（2，-2）和D（4，-

），
∴

c=-2

4a+2b+c=-2

16a+4b+c=-

，
解得：

b=-

c=-2

．
∴抛物线的表达式为y=

x²-

x-2．

（2）由题可知：AP=2t，BQ=t，PB=2-2t，（0≤t≤1），
①在Rt△PBQ中，
S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4，
∴S与t之间的函数关系式为S=5t²-8t+4，（0≤t≤1）；
②S=5t²-8t+4=5（t-

）²+

，
∵5＞0，
∴当t=

时，S取最小值为

．

（3）抛物线y=

x²-

x-2的对称轴为x=-

2×

=1．
∵A（0，-2），B（2，-2），
∴点A、点B关于对称轴x=1对称．
∵点M在对称轴x=1上，
∴MA=MB，
∴MD-MA=MD-MB．
根据两点之间线段最短可得：
MD≤MB+BD，即MD-MB≤BD，
当A、D、M三点共线时，MD-MB取到最大值，即MD-MA取到最大值．
设直线BD的解析式为y=mx+n，