Question

已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到

△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y(cm²)，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_△QMC∶S_{四边形ABQP}＝1∶4？若存在，求出t的值；

     若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

    由平移性质可得MN∥AB

因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以，即，解得

（2）作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E

由可得

则由勾股定理易求

因为PD⊥BC，AE⊥BC

所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE

所以，即

求得：，

因为PM∥BC，所以M到BC的距离

所以，△QCM是面积

（3）因为PM∥BC，所以

         若S_△QMC∶S_{四边形ABQP}＝1∶4，则S_△QMC∶S_△ABC＝1∶5

         即：，整理得：，解得

         答：当t=2时，S_△QMC∶S_{四边形ABQP}＝1∶4

（4）若，则∠MDQ=∠PDQ=90°

     因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD，

     所以△MQP∽△PDQ，所以，所以

     即：，由，所以DQ = CD-CQ

     故，整理得

     解得

     答：当时，。