Question

12．如图，直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x上有点A₁，A₂，A₃，…A_n+1，且OA₁=1，A₁A₂=2，A₂A₃=4，A_nA_n+1=2ⁿ，分别过点A₁，A₂，A₃，…A_n+1作直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的垂线，交y轴于点B₁，B₂，B₃，…B_n+1，依次连接A₁B₂，A₂B₃，A₃B₄，…A_nB_n+1，得到△A₁B₁B₂，△A₂B₂B₃，△A₃B₃B₄，…，△A_nB_nB_n+1，则△A_nB_nB_n+1的面积为（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．（用含正整数n的式子表示）

Answer 1

分析 由直线OA_n的解析式可得出∠A_nOB_n=60°，结合A_nA_n+1=2ⁿ可求出A_nB_n的值，再根据三角形的面积公式即可求出△A_nB_nB_n+1的面积．

解答 解：∵直线OA_n的解析式y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，
∴∠A_nOB_n=60°．
∵OA₁=1，A₁A₂=2，A₂A₃=4，A_nA_n+1=2ⁿ，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，A₂B₂=3$\sqrt{3}$，A₃B₃=7$\sqrt{3}$．
设S=1+2+4+…+2^n-1，则2S=2+4+8+…+2ⁿ，
∴S=2S-S=（2+4+8+…+2ⁿ）-（1+2+4+…+2^n-1）=2ⁿ-1，
∴A_nB_n=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{n}{B}_{n}{B}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$A_nB_n•A_nA_n+1=$\frac{1}{2}$×（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$×2ⁿ=（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．
故答案为：（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据边的变化找出变化规律“A_nB_n=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”是解题的关键．