题目内容
4．
我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（-2，0）和（-1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=-2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=-2x上，横坐标依次为-1，-2，-3，…，-n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
分析 （1）把点（-2，0）和（-1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$），把顶点坐标代入y=-2x，得出-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=-2×（-$\frac{b}{2a}$），即可求出b的值；
（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=-2x上，根据（2）的结论可知，b=4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=-4时，抛物线的表达式为y=ax2-4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（-n，2n），则Dn（-3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（-n-k，2n+2k），根据-$\frac{b}{2a}$=-n-k，得出a=$\frac{b}{2（n+k）}$=-$\frac{2}{n+k}$，即第n+k条抛物线的表达式为y=-$\frac{2}{n+k}$x2-4x，根据Dn（-3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=-$\frac{2}{n+k}$×（-3n）2-4×（-3n），解得k=$\frac{4}{5}$n，进而求解即可．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（-2，0）和（-1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=0}\\{a-b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-3x2-6x；
（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$），且该点在直线y=-2x上，
∴-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=-2×（-$\frac{b}{2a}$），
∵a≠0，∴-b2=4b，
解得b1=-4，b2=0；
（3）这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=-2x上，
由（2）可知，b=4或b=0．
①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；
②当b=-4时，抛物线的表达式为y=ax2-4x．
由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（-n，2n），则Dn（-3n，2n），
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（-n-k，2n+2k），
∴-$\frac{b}{2a}$=-n-k，∴a=$\frac{b}{2（n+k）}$=-$\frac{2}{n+k}$，
∴第n+k条抛物线的表达式为y=-$\frac{2}{n+k}$x2-4x，
∵Dn（-3n，2n）在第n+k条抛物线上，
∴2n=-$\frac{2}{n+k}$×（-3n）2-4×（-3n），解得k=$\frac{4}{5}$n，
∵n，k为正整数，且n≤12，
∴n1=5，n2=10．
当n=5时，k=4，n+k=9；
当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），
∴D5（-15，10），
∴正方形的边长是10．
点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等知识，有一定难度．设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，用含n的代数式表示Dn的坐标以及用含n、k的代数式表示第n+k条抛物线是解题的关键．
| A． | 为任意整数 | B． | 为任意负整数 | ||
| C． | 等于0或为任意不等于-1的负整数 | D． | 为不等于-1的非正整数 |
| A． | 全县的全体八年级学生 | |
| B． | 全县的全体八年级学生期末数学考试成绩 | |
| C． | 抽取的200名学生 | |
| D． | 抽取的200名学生期末数学考试成绩 |
如图，直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x上有点A1，A2，A3，…An+1，且OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n，分别过点A1，A2，A3，…An+1作直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…Bn+1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn+1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn+1，则△AnBnBn+1的面积为（22n-1-2n-1）$\sqrt{3}$．（用含正整数n的式子表示）
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3$\sqrt{3}$．| A． | 1或-4 | B． | -1或-4 | C． | -1或4 | D． | 1或4 |
如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE=$\frac{5}{8}$ED，则$\frac{FA}{AB}$的值为（ ）| A． | $\frac{15}{13}$ | B． | $\frac{8}{5}$ | C． | $\frac{5}{8}$ | D． | $\frac{15}{8}$ |