Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以一腰AB 为直径作⊙O交BC于D，又过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）判断DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结AD、OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，而AB=AC=5，则根据等腰三角形的性质得BD=CD=

1

2

BC=4，于是可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，由于DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理可得DE与圆O相切；
（2）在Rt△ABD中，根据勾股定理计算出AD=3，再证明Rt△ABD∽Rt△ADE，然后利用相似比即可计算出DE的长．

解答：解：（1）DE与圆O相切．理由如下：
连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=5，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与圆O相切；
（2）在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=4，
∴AD=

AB2-BD2

=3，
∵AD为等腰△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴Rt△ABD∽Rt△ADE，
∴

BD

DE

=

AB

AD

，即

4

DE

=

5

3

，
∴DE=

12

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．