题目内容
7．如图1，已知△ABC，小明以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，经测量，小明发现BE=CD．
（1）数学思考：如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？说明你的理由；
（2）数学应用：运用前两题所积累的知识与经验，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
分析 （1）由正方形的性质就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；
（2）在△ABC外侧，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．
解答 解：（1）结论：BE=CD．
理由：如图2中，∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）如图3中，在△ABC外侧，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100 $\sqrt{2}$米，连接CD，则由题意可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100 $\sqrt{2}$米，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{10{0}^{2}（100\sqrt{2}）^{2}+}$=100 $\sqrt{3}$米，
则BE=CD=100 $\sqrt{3}$米．
点评 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前方出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小明能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高 25米．
16．如果收入100元记作+100元，那么支出20元记作（ ）
| A． | +20 | B． | -20 | C． | -20元 | D． | +20元 |