Question

已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形； ②求CD的长度；

（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．

Answer 1

【考点】反比例函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．

【专题】综合题．

【分析】（1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；

（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四边形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数图象上一点，

∴m==2；

（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1．

∵点C的坐标为（2，6），

∴CH=2，OH=6，

∴tan∠COH==，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四边形ACA′O′为平行四边形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等边三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=2，OH=6，

∴OC=4，

∴CO′=OC﹣OO′=4﹣2．

∵四边形ACA′O′为平行四边形，

∴CD=O′D=CO′=2﹣1；

（3）当AO′最短时A′点的坐标（2+，），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣，﹣）．

提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短，

过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴==，

∴==，

∴BN=，O′N=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴==2，

∴A′M=，O′M=，

∴A′（2﹣+， +）即（2+，）；

②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，

过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3．

同理可得：A′（2﹣，﹣）．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用平行四边形的对角线互相平分是解决第（2）②小题的关键，构造K型相似是解决第（3）小题的关键．