题目内容

如图正方形ABCD，其边长为4．P是射线AB上的点，且AP=x．将△APD沿过点D的折痕PD折叠，点A的落点记为A′，若△A′DP与正方形ABCD的重叠面积记为S，
（1）若x=6，则S=
（2） $数学公式$ ≤S≤1时，则x的取值范围为（用含x的不等式表示）．

解：（1）设PD和BC的交点为E，如下图所示：

由题意可知，△A′DP与正方形ABCD的重叠部分的面积即是△CDE的面积．
AP=6，AB=4，∴BP=2，
又△DCE∽△PBE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又BE+CE=4，
∴CE= $\text{[math]}$ ，
S_△CDE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ．

（2）当点P在AB之间时，△A′DP与正方形ABCD的重叠面积即是求△A′DP的面积，
∴S= $\text{[math]}$ ×4×x=2x，
又 $\text{[math]}$ ≤S≤1，
解得： $\text{[math]}$ ；
当点P在点B的右端时，△A′DP与正方形ABCD的重叠部分的面积即是△CDE的面积，
∴S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ≤S≤1，
解得：32≤x≤64．
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 或32≤x≤64．
分析：设PD和BC的交点为E，由题意可知，△A′DP与正方形ABCD的重叠部分的面积即是△CDE的面积．
（1）AP=6，AB=4，所以BP=2，又△DCE∽△PBE，即可求出CE的长，从而求出其面积．
（2）分两种情况讨论，①点P在AB之间，②点P在点B的右端，分别写出这两种情况下重叠面积的表达式，然后计算即可．
点评：本题考查了翻转变换、三角形的面积、直角三角形和正方形的性质等知识，有一定难度，需要熟练掌握各部分知识，注意第二问中不要漏解．