Question

19．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACD中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD=$\frac{1}{2}$AC=1，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，在Rt△CBD中，由于∠B=45°，则△ABD为等腰直角三角形，所以BD=CD=1，AB=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，则AB=BD+AD=1+$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．

解答 解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△CBD中，∵∠B=45°，
∴BD=CD=1，CB=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴BA=BD+AD=1+$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=$\sqrt{2}$+2+1+$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$•1•（$\sqrt{3}$+1）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
答：△ABC的周长为3+$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．