Question

【题目】如图，AB是⊙Ｏ的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，连接CO并延长，交⊙Ｏ于点D，连接AD，过点D作⊙Ｏ的切线，交PB的延长线于点E，连接CE．

（1）求证：△DAC≌△ECP；

（2）填空：

①当∠DAP=______°时，四边形DEPC为正方形；

②在点 P的运动过程中，若⊙Ｏ的直径为10，tan∠DCE=，则AD=______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①45，②．

【解析】

（1）先由切线的性质得到∠CDE＝90°，再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP，接着根据圆周角定理得到∠APB＝90°，于是可判断四边形DEPC为矩形，所以DC＝EP，然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP；

（2）①利用四边形DEPC为矩形得到DE＝PC＝AC，则根据正方形的判定方法得DC＝CP时，四边形DEPC为正方形，则DC＝CP＝AC，于是得到此时△ACD为等腰直角三角形，所以∠DAP＝45°；

②先证明∠ADC＝∠DCE，再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC＝，则设AC＝x，DC＝2x，利用勾股定理得到AD＝x，然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x2＋（2x5）2＝52，再解方程求出x即可得到AD的长．

（1）证明：∵是的直径，

∴.

∵点为的中点，点为的中点，

∴为的中位线，，

∴，

∴，即.

∵是圆的切线，

∴，

∴四边形为矩形，

∴.

又∵，，

∴.

（2）解：①∵四边形DEPC为矩形，

∵DE＝PC＝AC，

∵当DC＝CP时，四边形DEPC为正方形，

此时DC＝CP＝AC，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠DAP＝45°；

②∵DE＝AC，DE∥AC，

∴四边形ACED为平行四边形，

∴AD∥CE，

∴∠ADC＝∠DCE，

在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝tan∠DCE＝，

设AC＝x，则DC＝2x，

∴AD＝，

在Rt△AOC中，AO＝5，OC＝CDOD＝2x5，

∴x2＋（2x5）2＝52，解得x1＝0（舍去），x2＝4，

∴AD＝．

故答案为①45；②．