Question

【题目】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接、、．

（1）求这个抛物线的表达式．

（2）当四边形面积等于4时，求点的坐标．

（3）①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点的坐标；

②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，直接写出满足条件的所有点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①，；②，（-1，5）．

【解析】

（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，即3a＝2，解得：a＝，即可求解；

（2）设点P(x，)，根据S＝S四边形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC=4列出方程即可求解；

(3)①根据等腰直角三角形的性质，构造全等三角形即可求出M的坐标；

②根据题意作图，根据①所求的M点坐标结合圆周角的性质与等腰直角三角形的性质即可确定N点坐标．

（1）∵抛物线经过点和点

设抛物线的表达式为：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，

∴3a＝2，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：；

（2）令x=0，得y=2

∴点C（0，2），

函数的对称轴为：x＝- =-1；

连接OP，设点P(x，)，

则S＝S四边形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC

＝×AO×yp＋×OC×|xP|×CO×OD

＝×3×()＋×2×(x) ×2×1

＝x23x＋2，

∵四边形面积等于4，

∴x23x＋2=4

解得x1=-1,x2=-2，

∴P或；

(3) ①如图，∵△CDM1是以CM1为斜边的等腰直角三角形，

∴CD=DM1，∠CDM=90°，

∴∠QDM1+∠CDO=90°

作M1Q⊥AB于Q点，

∴∠QDM1+∠QM1D=90°

∴∠CDO=∠QM1D

又∠DQM1=∠COD=90°

∴△DQM1≌△COD

QD=CO=2,M1Q=DO=1

∴OD=3, M1Q=1

∴M1（-3，1）

由图形及等腰直角三角形的性质可知M1、M2关于D点对称，

设M2（p，q）

∴，

解得p=1，q=-1

∴M2（1，-1）

综上M的坐标为，；

②如图，∵=90°，当=可知N点为对称轴直线x=-1与以圆D为圆心，DM2为半径的圆的交点，即N1,N2

∵r=DM2=

∴N1(-1，-)，N2（1，）；

如图，当时，

由①可得,，

∴，CD=DM1=DM2,

∴CM1=CM2,

则△是等腰直角三角形，

则

∴△是等腰直角三角形，

则N3,M2关于C点对称，

设N3（x,y）

则，

解得x=-1，y=5

∴N3（-1,5）

综上，N点坐标为：，（-1，5）．