Question

【题目】如图抛物线的开口向下与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点(不与点重合)

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点是抛物线上一个动点，若的面积为12，求点的坐标；

(3)如图2，抛物线的顶点为，在抛物线上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；（3）点E坐标为（，）或（，）．

【解析】

（1）将点和点代入求出a，b即可；

（2）如图作辅助线，根据S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12求出HP＝4，由直线AC的表达式为y＝x＋6可得直线m的表达式，然后求出直线m和抛物线的交点即可得到两个P点坐标，同理可得直线n的表达式，进而得出另外两个P点坐标；

（3）首先证明∠ACD＝90°，可得sin∠DAC＝，然后作辅助线构造三角形，求出sin2∠DAC＝，进而可得tan∠EAB＝，然后分情况讨论：①当点E在AB上方时，求出直线AE的表达式即可解决问题，②当点E在AB下方时，同理计算即可．

解：（1）将点和点代入得：/span>，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线于点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，

∵抛物线的解析式为：，

∴C（0，6），

∴OA＝OC，

∴∠PHG＝∠ACB＝45°，则HP＝PG，

∴S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12，

解得：HP＝4，

易得直线AC的表达式为：y＝x＋6，

则直线m的表达式为：y＝x＋10，

联立，解得：或，

∴点P坐标为（2，8）或（4，6）；

同理可得，直线n的表达式为：y＝x＋2，点P（P″、P′″）的坐标为（3，1）或（3＋，1），

综上，点P的坐标为（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；

（3）∵，

∴D（2，8），

∵点A（6，0）、B（2，0）、C（0，6），

∴AC2＝，CD2＝，AD2＝，

∴AC2＋CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴sin∠DAC＝，

如图2，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，

则DD′＝2CD＝，AD＝AD′＝，

∵S△ADD′＝×DD′×AC＝DH×AD′，

∴××＝DH×，

解得：DH＝，

∴sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝，

易得tan∠EAB＝，

①当点E在AB上方时，如图3，

设直线AE交y轴于F，

则tan∠EAB＝，

∴OF＝，即F（0，），

设直线AE的表达式为：y=kx+，

代入A（－6，0）解得：，

∴直线AE的表达式为：y＝x＋，

联立，解得：或，

∴点E坐标为（，）；

②当点E在AB下方时，

同理可得：点E（，），

综上，点E坐标为（，）或（，）．