Question

12．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（　　）
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据I是内心，即角平分线的交点，则AI平分∠BAC，所以∠CAD=∠DAB，由此得出：∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I是内心，到三边的距离相等；
③先根据角平分线定义得：∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形内角和得：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，所以$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，则∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，最后利用外角定理可以表示∠BIC的度数=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④证明△ADC∽△CDE，得DC²=DE•AD，再证明DC=DI，所以说法正确；
⑤根据等角对等边证明DB=DC，由④得：DC=DI，得DB=DC=DI，则点D是△BIC的外心．

解答 解：①∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
所以此选项说法正确；
②∵I是△ABC的内心，
∴I是△ABC三个角平分线的交点，
∴I到△ABC三边的距离相等，
所以此选项说法不正确；
③∵I是内心，
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BIE=∠ABI+∠BAI，∠EIC=∠DAC+∠ACI，
∴∠BIC=∠BIE+∠EIC=∠ABI+∠BAI+∠DAC+∠ACI，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
所以此选项说法正确；
④∵∠DCB=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCB=∠DAC，
∵∠ADC=∠ADC，
∴△ADC∽△CDE，
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{AD}{DC}$，
∴DC²=DE•AD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠DCI=∠ICB+∠DCB，
∵IC平分∠ACB，
∴∠ACI=∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DC=DI，
∴DI²=DE•AD，
∴线段DI是线段DE与DA的比例中项；
所以此选项说法正确；
⑤∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC，
由④得：DC=DI，
∴DB=DC=DI，
∴点D是△BIC的外心；
所以此选项说法正确；
所以说法正确的有：①③④⑤；
故选D．

点评 本题考查了三角形的内心、外心、旋转的性质、比例线段等，应用的知识点较多，首先要明确内心是角平分线的交点，三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；外心是三边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心，反之，到三角形三个顶点距离相等的点就是三角形的外心，做好本题要熟练掌握与圆有关的性质和定理．