Question

20．如图，AD、EC是正五边形ABCDE的两条对角线，则$\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在正五边形ABCDE中，设EF=x，CF=y，首先证明CD=DE=CF=y，由△EDF∽△ECD，推出$\frac{DE}{EC}$=$\frac{EF}{ED}$，推出y²=x（x+y），即x²+xy-y²=0，即（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，解方程即可解决问题．

解答 解：在正五边形ABCDE中，设EF=x，CF=y，
∵∠EDA=∠EAD=∠DEC=∠DCE=36°，
∴∠CDF=∠CFD=72°，
∴CD=DE=CF=y，
又∵∠DEF=∠DEC，
∴△EDF∽△ECD，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{EF}{ED}$，
∴y²=x（x+y），
∴x²+xy-y²=0，
∴（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、正五边形等知识，具体的规划是学会用参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型，体现了数形结合的思想．