Question

5．【发现】：如图1，在正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，BM=AN，连接BN，CM，相交于点O，求∠α
易得：△ABN≌△BCN，则∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角，∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°

【推广】：在正n边形中，对相邻的两边实施同样的操作…
（1）如图2，在正四边形ABCD中，在AB，AD边上分别取点M，N，连接BN，CM，可确定∠α=90°；
（2）如图3，在正五边形ABCDE中，在AB，AD边上分别取点M，N，连接BN，CM，可确定∠α=108°；
（3）判断：∠α可以等于160°吗？如果可以，求出对应的边数n，若不可以，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠CBM=90°，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2））由于四边形ABCD是正五边形，得到AB=BC，∠A=∠CBM=108°，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据（1）、（2）的结论即可得到结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBM=90°，
在△ABN与△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBM}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠1=∠2，
∵∠α是△BOC的外角，
∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=90°；
故答案为：90；
（2））∵四边形ABCD是正五边形，
∴AB=BC，∠A=∠CBM=108°，
在△ABN与△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠CBM}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠1=∠2，
∵∠α是△BOC的外角，
∴∠α=∠2+∠3，
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=108°；
故答案为：108；
（3）∠α可以等于160°，
理由：由于上述操作发现的结论可知，正n边形中的∠α=正n边形的内角的度数，
假设存在正n边形使得∠α=160°，则（n-2）•180°=160°n，
解得：n=18，
∴存在正n边形使得∠α=160°，
此时，该正n边形为正十八边形．

点评 本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．