Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点P为△ABC内一点，PA=2，PB=

5

，PC=2

3

-1．求∠APB的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：由于AB=AC，∠BAC=30°，根据旋转的定义可把△ABP绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，作PH⊥AD于D，如图，则根据旋转的性质AD=AP=2，∠PAD=30°，CD=BP=

5

，∠ADC=∠APB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ADP=75°；在Rt△APD中根据含30度的直角三角形三边的关系得到PH=

1

2

AP=1，AH=

3

PH=

3

，则HD=AD-AH=2-

3

，再在Rt△PDH中，根据勾股定理计算出PD²=8-4

3

，而在△CPD中由于PD²+CD²=PC²，则根据勾股定理的逆定理得到△PCD为直角三角形，∠PDC=90°，所以∠ADC=∠ADP+∠PDC=165°，于是有∠APB=165°．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴将△ABP绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，作PH⊥AD于D，如图，
∴AD=AP=2，∠PAD=30°，CD=BP=

5

，∠ADC=∠APB，
∴∠ADP=

1

2

（180°-30°）=75°，
在Rt△APD中，PH=

1

2

AP=1，AH=

3

PH=

3

，
∴HD=AD-AH=2-

3

，
在Rt△PDH中，PD²=PH²+HD²=1²+（2-

3

）²=8-4

3

，
在△CPD中，∵PD²=8-4

3

，CD²=（

5

）²=5，PC²=（2

3

-1）²=13-4

3

，
∴PD²+CD²=PC²，
∴△PCD为直角三角形，∠PDC=90°，
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=165°，
∴∠APB=165°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理．