题目内容
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a，3）（其中a＞4），射线OA与反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象交于点P，点B、C分别在函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴；（1）当点P横坐标为6，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当AB=BO时，求点A坐标；
（3）联结BP、CP，试猜想：$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值；如果变化，请说明理由．
分析 （1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得A点坐标；
（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得P点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标，根据三角形面积公式，可得答案．
解答 解：（1）当x=6时，y=2，∴P（6，2），
设直线AO的解析式为y=kx，
代入P（6，2）得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线AO的解析式为y=$\frac{1}{3}$x；
（2）由AB∥x轴，得B点横坐标为4．
当y=3时，x=4，
∴B（4，3）．
OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AB=OB，
∴5=a-4，即a=9，
∴A（9，3）；
（3）直线AO的解析式为y=$\frac{3}{a}$x，联立y=$\frac{12}{x}$，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{a}x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{a}}\\{y=\frac{6\sqrt{a}}{a}}\end{array}\right.$．
∴P（2$\sqrt{a}$，$\frac{6\sqrt{a}}{a}$），
作PM⊥AB，PN⊥AC．
当x=a时，y=$\frac{12}{a}$，即C（a，$\frac{12}{a}$），当y=3时，x=4，即B（4，3）．
AC=3-$\frac{12}{a}$，PN=a-2$\sqrt{a}$，AB=a-4，PM=3-$\frac{6\sqrt{a}}{a}$，
∴S△ABP=$\frac{1}{2}$（a-4）（3-$\frac{6\sqrt{a}}{a}$），S△ACP=$\frac{1}{2}$（a-2$\sqrt{a}$）（3-$\frac{12}{a}$），
∴$\frac{{S}_{ABP}}{{S}_{△ACP}}$=$\frac{3a-12-6\sqrt{a}+\frac{24\sqrt{a}}{a}}{3a-6\sqrt{a}-12+\frac{24\sqrt{a}}{a}}$=1．
点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用平行x轴直线上的点的纵坐标相等得出B点的纵坐标，再利用函数值与自变量的关系得出B点坐标，利用两线段相等得出A点坐标；（3）利用解方程组得出P点坐标，利用自变量与函数值的对应关系得出B、C点坐标，利用三角形的面积公式得出答案．
名校课堂系列答案| A． | $（\sqrt{-3}{）^2}=-3$ | B． | $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{4}=±2$ | D． | $\sqrt{27}÷\sqrt{3}=3$ |
| A． | 内含 | B． | 内切 | C． | 外切 | D． | 相交 |