Question

7．化简：$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$÷（${a}^{-\frac{2}{3}}$-$\frac{2\root{3}{b}}{a}$）•$\frac{\sqrt{a•\root{3}{{a}^{2}}}}{\root{5}{\sqrt{a}•\root{3}{a}}}$．

Answer 1

分析 可设x=$\root{3}{a}$，y=$\root{3}{b}$，将原式变形为$\frac{{x}^{4}-8x{y}^{3}}{{x}^{2}+2xy+4{b}^{2}}$÷$\frac{x-2y}{{x}^{3}}$•$\frac{\sqrt{{x}^{5}}}{\root{5}{{x}^{3}}•x}$，再因式分解，约分计算即可求解．

解答 解：设x=$\root{3}{a}$，y=$\root{3}{b}$，
$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$÷（${a}^{-\frac{2}{3}}$-$\frac{2\root{3}{b}}{a}$）•$\frac{\sqrt{a•\root{3}{{a}^{2}}}}{\root{5}{\sqrt{a}•\root{3}{a}}}$
=$\frac{{x}^{4}-8x{y}^{3}}{{x}^{2}+2xy+4{y}^{2}}$÷$\frac{x-2y}{{x}^{3}}$•$\frac{\sqrt{{x}^{5}}}{\root{5}{\sqrt{{x}^{3}}•x}}$
=$\frac{x（x-2y）（{x}^{2}+2xy+4{y}^{2}）}{{x}^{2}+2xy+4{y}^{2}}$•$\frac{{x}^{3}}{x-2y}$•$\frac{{x}^{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
=x⁶
=a²．

点评 考查了分数指数幂，本题通过换元，将原式变形为$\frac{{x}^{4}-8x{y}^{3}}{{x}^{2}+2xy+4{b}^{2}}$÷$\frac{x-2y}{{x}^{3}}$•$\frac{\sqrt{{x}^{5}}}{\root{5}{{x}^{3}}•x}$求解．