Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．
（1）如图1，若⊙O与AB相切于F，AC=4，BC=2，求OC的长；
（2）如图2，若点O在AB上，tanA=$\frac{1}{2}$，求sin∠BOC的值．

Answer 1

分析 （1）如图1连接OD，OE，则四边形ODCE是正方形，由OD∥BC，得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，列方程求出结果．
（2）如图2连接OD，OE，过点C作CF⊥AB于F，则四边形ODCE是正方形，设出⊙O的半径为r，通过tanA=$\frac{1}{2}$，用r表示出BE=$\frac{1}{2}$r，AD=2r，BC=$\frac{3}{2}$r，AC=3r，根据三角形的面积公式求出CF，即可求出sin∠BOC的值．

解答 解：（1）如图1连接OD，OE，
则四边形ODCE是正方形，
∴OD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，
设⊙O的半径为r，
∴$\frac{4-r}{4}$=$\frac{r}{2}$，
∴r=$\frac{4}{3}$，
∴OC=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；

（2）如图2连接OD，OE，过点C作CF⊥AB于F，
则四边形ODCE是正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OC=$\sqrt{2}$r，
∵tanA=$\frac{1}{2}$，OE∥AC，
∴tan∠BOE=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$r，AD=2r，
∴BC=$\frac{3}{2}$r，AC=3r，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{BC}^{2}{+AC}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵BC•AC=AB•CF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$r，
∴sin∠BOC=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆，正方形的性质，平行线分线段成比例．勾股定理，锐角三角函数，准确的作出辅助线是解题的关键．