题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于D．（1）求证：△ABC∽△BDC；
（2）设AB=1，求BC的长．
考点：相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；
（2）由△ABC∽△BDC，得出AB：BD=BC：DC，再证出AD=BD=BC即可求出BC的长．
（2）由△ABC∽△BDC，得出AB：BD=BC：DC，再证出AD=BD=BC即可求出BC的长．
解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：设BC为x；∵△ABC∽△BDC，
∴
=
，
∵∠BAC=∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
∴BD=AD=x，DC=1-x，
∴
=
，即x2=1-x，
解得x=
（负值舍去），
∴x=
，
即BC=
．
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：设BC为x；∵△ABC∽△BDC，
∴
| AB |
| BD |
| BC |
| DC |
∵∠BAC=∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
∴BD=AD=x，DC=1-x，
∴
| 1 |
| x |
| x |
| 1-x |
解得x=
-1±
| ||
| 2 |
∴x=
-1+
| ||
| 2 |
即BC=
-1+
| ||
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
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| ||||||||
B、-
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、
|
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