Question

2．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是（　　）
①∠PAD=∠PDA=60°；
②△PAO≌△ADE；
③PO=$\sqrt{2}$r；
④AO：OP：PA=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．

• A． ①④
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 由⊙O的六等分点得出$\widehat{AE}=\widehat{DF}$，得出AE=DF＜AD，根据题意得：AP=AE，DP=DF，得出AP=DP＜AD，△PAD是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；连接OP、AE、DE，由AD＞AE=AP得出②△PAO≌△ADE错误，由圆周角定理得出∠AED=90°，∠DAE=30°，得出DE=r，AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$r，得出AP=AE=$\sqrt{3}$r，
由等腰三角形的性质得出PO⊥AD，由勾股定理求出PO=$\sqrt{A{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，③正确；求出AO：OP：PA=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．得出④正确；即可得出结论．

解答 解：∵A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，
∴$\widehat{AE}=\widehat{DF}$，
∴AE=DF＜AD，
根据题意得：AP=AE，DP=DF，
∴AP=DP＜AD，
∴△PAD是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；
连接OP、AE、DE，如图所示，
∵AD是⊙O的直径，
∴AD＞AE=AP，②△PAO≌△ADE错误，∠AED=90°，∠DAE=30°，
∴DE=r，AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$r，
∴AP=AE=$\sqrt{3}$r，
∵OA=OD，AP=DP，
∴PO⊥AD，
∴PO=$\sqrt{A{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，③正确；
∵AO：OP：PA=r：$\sqrt{2}$r：$\sqrt{3}$r=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．
∴④正确；
说法正确的是③④，
故选：C．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．