Question

【题目】如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为，求点C的坐标；

（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x2﹣3x；（2）C(1，﹣1)；（3）存在，点P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）点在直线上，则点的坐标为，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）如图，过点作轴交于点，则，，，设点，则，即可求解；

（3）分点在第一象限、第三象限两种情况，分别求解即可．

解：（1）点在直线上，则点的坐标为，

将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：①；

（2）如图，过点作轴交于点，

，

，

又，

，

，

，

设点，则，

点在直线的下方，

，解得：，

；

（3）如图（2）交轴于点，

，，，

在△BON和△AOB中，

，

，

，

将点、坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：②，

联立①②并解得：，故点M（，），

∵△POC∽△MOB，，，

，

即：，，

①当点在第一象限时，

过点作于点，过点作于点，

，

，

，

，

又，，

，，

即点P（，）

②同理当点在第三象限时，

点P（，）；

综上，点P（，）或（，）.