Question

如图△ABC中，AC=BC，点D为BC边上的一动点，DE⊥BA于E，连CE交AD于F，若DC=nBD．
①若n=2时，=________．
②若n=3时，求的值；
③若n=________时，EF=FC．

Answer 1

    
分析：①过点C作CH⊥AB于点H，由于DE⊥BA于E，所以DE∥CH，所以△BED∽△BHC，根据相似三角形的性质，可以求出的值．
②过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由（1）知，，由于DC=nBD且n=3，所以=，由于△AGH∽△ADE，所以，又因为△DEF∽△GCF，所以，所以=；
（3）过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由于△DEF∽△GCF，所以，由于EF=FC，所以DE=CG，设DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得，即①，由△AGH∽△ADE，得，即②，联立①②式，解得，．
解答：解：（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵DE⊥BA于E，
∴DE∥CH，
∴△BED∽△BHC，
∴，
由于DC=nBD且n=2，
∴=，
∵CH⊥AB于点H，
∴BH=HA，
∴=；
（2）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，
由（1）知，，由于DC=nBD且n=3，∴=，
同理，△AGH∽△ADE，∴，
又△DEF∽△GCF，∴，即=；
（3）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，
△DEF∽△GCF，∴，
由于EF=FC，所以DE=CG，
设DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得，即①，
由△AGH∽△ADE，得，即②，
联立①②式，解得，．
点评：通过平行线证得三角形相似，能够根据比例的性质进行比例式的灵活变形．熟悉相似三角形的性质是解题的关键．