题目内容

如图△ABC中，AC=BC，点D为BC边上的一动点，DE⊥BA于E，连CE交A精英家教网D于F，若DC=nBD．
①若n=2时，
BE
AB
=
 
．
②若n=3时，求
EF
FC
的值；
③若n=
 
时，EF=FC．
分析：①过点C作CH⊥AB于点H，由于DE⊥BA于E，所以DE∥CH，所以△BED∽△BHC，根据相似三角形的性质，可以求出
BE
AB
的值．
②过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由（1）知，
BD
BC
=
BE
BH
，由于DC=nBD且n=3，所以
BD
BC
=
BE
BH
=
1
4
，由于△AGH∽△ADE，所以
GH
DE
=
AH
AE
=
4
7
，又因为△DEF∽△GCF，所以
EF
FC
=
DE
CG
=
7
24
，所以
EF
FC
=
7
24
；
（3）过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，由于△DEF∽△GCF，所以
EF
CF
=
DE
CG
，由于EF=FC，所以DE=CG，设DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得
BD
BC
=
DE
CH
，即
1
n+1
=
x
x+y
①，由△AGH∽△ADE，得
HG
ED
=
AH
AE
，即
y
x
=
n
2n+1
②，联立①②式，解得，n=
2
2
．
解答：精英家教网解：（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵DE⊥BA于E，
∴DE∥CH，
∴△BED∽△BHC，
∴
BD
BC
=
BE
BH
，
由于DC=nBD且n=2，
∴
BD
BC
=
BE
BH
=
1
3
，
∵CH⊥AB于点H，
∴BH=HA，
∴
BE
AB
=
1
6
；

（2）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，精英家教网
由（1）知，
BD
BC
=
BE
BH
，由于DC=nBD且n=3，∴
BD
BC
=
BE
BH
=
1
4
，
同理，△AGH∽△ADE，∴
GH
DE
=
AH
AE
=
4
7
，
又△DEF∽△GCF，∴
EF
FC
=
DE
CG
=
7
24
，即
EF
FC
=
7
24
；

（3）如图示，过点C作CH⊥AB于点H，交AD于点G，
△DEF∽△GCF，∴
EF
CF
=
DE
CG
，
由于EF=FC，所以DE=CG，
设DE=CG=x，GH=y，精英家教网
由△BED∽△BHC，得
BD
BC
=
DE
CH
，即
1
n+1
=
x
x+y
①，
由△AGH∽△ADE，得
HG
ED
=
AH
AE
，即
y
x
=
n
2n+1
②，
联立①②式，解得，n=
2
2
．
点评：通过平行线证得三角形相似，能够根据比例的性质进行比例式的灵活变形．熟悉相似三角形的性质是解题的关键．
练习册系列答案
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19、如图△ABC中，AC=14cm，DE为AB的垂直平分线，△ACD的周长为26cm，则BC的长
12
cm．
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．
如图△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB边上的中点，则CD的长为（　　）

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