Question

如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C在y轴正半轴上，若A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）P是（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物线上一点，若△ABQ与△ABP的面积相等，求Q点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知条件“A（-1，0），OB=3OA，且tan∠CAO=2”易求点B、C的坐标；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．然后把点C的坐标分别代入，求得a的值；
（3）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”可知，点Q是直线y=与抛物线的交点．

解答：解：（1）如图，∵点A、B在x轴上（A点在B点左侧），A（-1，0），OB=3OA，
∴B（3，0）．
又∵tan∠CAO=2，点C在y轴正半轴上，
∴

CO

AO

=2，则CO=2OA=2，
∴C（0，2）
综上所述，点B、C的坐标分别是：（3，0），（0，2）；

（2）∵该抛物线与x轴的两个交点坐标是：A（-1，0），B（3，0），
∴设过点A、B、C的抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．
把点C的坐标代入，得
2=a（0+1）（0-3），
解得，a=-

2

3

，
则该抛物线的解析式为：y=-

2

3

（x+1）（x-3）（或y=-

2

3

x²+

4

3

x+2）；

（3）由（2）中抛物线解析式得到：y=-

2

3

（x-1）²+

8

3

，则顶点P的坐标是（1，

8

3

）．
∵△ABQ与△ABP的面积相等，且点Q是抛物线上的一点
∴点Q与点P到x轴的距离相等，
∴点Q是直线y=±

8

3

与抛物线的交点．
①当y=

8

3

时，x=1，此时，点Q与点P重合，即Q（1，

8

3

）；
②当y=-

8

3

时，-

2

3

（x-1）²+

8

3

=-

8

3

，
解得，x₁=1+2

2

，x₂=1-2

2

，此时，点Q的坐标是（1+2

2

，-

8

3

）或（1-2

2

，-

8

3

）
综上所述，符合条件的点Q的坐标是：（1，

8

3

）、（1+2

2

，-

8

3

）或（1-2

2

，-

8

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了坐标与图形的性质，锐角三角函数的定义，待定系数法求二次函数的解析式，以及一次函数与抛物线的交点问题．解答（2）题时，因为已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设交点式关系式，可以减少繁琐的计算过程．