Question

14．如图1，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于第一象限内的动点，是否存在点P，使△PBC得面积最大，若存在，请求出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l经过A、C两点，点Q时位于y轴左侧的抛物线上的一动点，经过点B和点Q的直线m，与y轴相交于点M，与直线l相交于点N，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把B、C两点的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得b、c的值即可；
（2）连结BC，过点P作y轴的平行线，交BC与点M，交x轴与点H，先求得BC的解析式为y=-x+3，设点P的坐标为（x，-x²+2x+3）则点M的坐标为（x，-x+3），然后由S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）列出△PBC的面积与x的函数关系式可求得当x=$\frac{3}{2}$时，三角形的面积有最大值，从而可得到点P的坐标；
（3）如图2所示：直线m₁交y轴于点M₁，交直线l于点N₁，先证明△ACO≌△M₁BO，从而得到OM₁=OA=1，于是可得到点M₁（0，1），然后求得直线BM₁的解析式即可，直线m₂交y轴与点M₂，交直线l于点N₂时，同理可求得点M₂的坐标为（0，-1）．，然后再求得直线BM₂的解析式即可．

解答 解：（1）把B、C两点的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）存在．
如图1所示：连结BC，过点P作y轴的平行线，交BC与点M，交x轴与点H．

设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
设点P的坐标为（x，-x²+2x+3）则点M的坐标为（x，-x+3）．
∴PM=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）=$\frac{1}{2}$PM•OB=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）存在．
如图2所示：

直线m₁交y轴于点M₁，交直线l于点N₁．
当△AN₁B和△M₁N₁C相似时，则∠AN₁B=∠M₁N₁C．
∵∠AN₁B+∠M₁N₁C=180°，
∴∠AN₁B=∠M₁N₁C=90°．
∴∠ACO=∠M₁BO．
在△AOC和△M₁BO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠{M}_{1}OB}\\{OC=OB}\\{∠ACO=∠{M}_{1}BO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△M₁BO．
∴OM₁=OA．
∵A（-1，0），
∴OM₁=OA=1．
∴点M₁（0，1）．
由M₁（0，1），B（3，0），
∴直线m1的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1．
直线m₂交y轴与点M₂，交直线l于点N₂时．
∵△AN₂B和△M₂N₂C相似时，必有∠AN₂B=∠M₂N₂C．
同理：可得到△ACO≌△M₂BO．
∴OM₂=OA．
∴点M₂的坐标为（0，-1）．
∴直线BM₂的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1．
综上所述，满足条件的直线m的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1或y=$\frac{1}{3}$x-1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质、全等三角形的性质，证得△ACO≌△M₁BO、△ACO≌△M₂BO是解题的关键．