Question

4．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是15-5$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据长方形的周长公式列出算式求出x的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．

解答 解：设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：
2（x+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$x）=20，
解得：x=5$\sqrt{5}$-5，
则这个黄金矩形较短的边长是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×（5$\sqrt{5}$-5）=（15-5$\sqrt{5}$）cm．
故答案为：15-5$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．