Question

19．已知抛物线y=ax²+bx-3经过（-1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（-1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x_A+x_B=2+k，x_A•x_B=-3”，结合点O为线段AB的中点即可得出x_A+x_B=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x_A、x_B，在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x_A+x_B=2+k，x_A•x_B=-3”，即可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值．

解答 解：（1）令抛物线y=ax²+bx-3中x=0，则y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
∵抛物线y=ax²+bx-3经过（-1，0），（3，0）两点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-3}\\{0=9a+3b-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）将y=kx代入y=x²-2x-3中得：kx=x²-2x-3，
整理得：x²-（2+k）x-3=0，
∴x_A+x_B=2+k，x_A•x_B=-3．
∵原点O为线段AB的中点，
∴x_A+x_B=2+k=0，
解得：k=-2．
当k=-2时，x²-（2+k）x-3=x²-3=0，
解得：x_A=-$\sqrt{3}$，x_B=$\sqrt{3}$．
∴y_A=-2x_A=2$\sqrt{3}$，y_B=-2x_B=-2$\sqrt{3}$．
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为-2，点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），点B的坐标为（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）．
（3）假设存在．
由（2）可知：x_A+x_B=2+k，x_A•x_B=-3，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$OC•|x_A-x_B|=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}•{x}_{B}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴（2+k）²-4×（-3）=10，即（2+k）²+2=0．
∵（2+k）²非负，无解．
故假设不成立．
所以不存在实数k使得△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系、解一元二次方程以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合根与系数的关系求出k值；（3）利用反正法找出方程无解．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将正比例函数解析式代入二次函数解析式中，利用三角形的面积公式结合根与系数的关系找出关于k的方程是关键．