Question

如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）在（2）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer 1

解：（1）将A（0，﹣6），B（﹣2，0）代入y=x²+bx+c，

得：，

解得：，

∴y=x²﹣2x﹣6，

∴顶点坐标为（2，﹣8）；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁=（x﹣2+1）²﹣8+m，

∴P（1，﹣8+m），

在抛物线y=x²﹣2x﹣6中易得C（6，0），

∴直线AC为y₂=x﹣6，

当x=1时，y₂=﹣5，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0），

∴线段AB的中点坐标为（﹣1，﹣3），直线AB的解析式为y=﹣3x﹣6，

∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=x﹣，

∴直线y=x﹣与x=1的交点坐标为（1，﹣），

∴此时的点P的坐标为（1，﹣），

∴此时向上平移了8﹣=个单位，

∴①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；      

②当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；

③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．