Question

2．如图，AB是⊙O的弦，C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，连BO并延长交⊙O于点D，连接CA，CB，AB与CD交于点F，已知CF=1，FD=2．
（1）求CB的长；
（2）延长DB到E，使BE=OB，连接CE，求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠D，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°，根据勾股定理得到BD=2$\sqrt{3}$，证得OB=BE=BC，连接OC，推出OC⊥CE，即可得到结论．

解答 解：（1）∵C是劣弧$\widehat{AB}$的中点，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠D，
∴∠2=∠D，
∵∠BCF=∠DCB，
∴△BCF∽△DCB，
∴$\frac{BC}{CF}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=CF•CD=1×3=3，
∴BC=$\sqrt{3}$；

（2）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴BD²=BC²+CD²=12，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∴OB=BE=BC，
连接OC，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．